量子信道态 tomographic：最优下界与 Heisenberg-经典相位转变

要学习量子信道的完整经典描述，需多少次黑盒查询？这一问题是量子信道态 tomographic（亦称量子过程态 tomographic）的核心问题，关乎量子硬件的表征与验证。尽管已有大量研究，量子信道态 tomographic 的最优查询复杂度仍未完全阐明。本文研究对未知维度为 $d_1$、输出维度为 $d_2$、克拉斯秩至多为 $r$ 的量子信道进行误差为 $\varepsilon$ 的态 tomographic。我们确定膨胀率 $\tau = r d_2 / d_1$（由于信道保持迹性，始终满足 $\tau\geq 1$）为关键参数，确立量子信道态 tomographic 的最优查询复杂度在 $\tau$ 的三个区间内 exhibits 不同的标度规律：在边界区间（$\tau = 1$）时，证明查询复杂度为 $\Theta(r d_1 d_2/\varepsilon)$（针对 Choi 迹范数误差 $\varepsilon$），且对 diamond 范数误差 $\varepsilon$ 上，上界为 $O(\min\{r d_1^{1.5} d_2/\varepsilon, r d_1 d_2/\varepsilon^2\})$，下界为 $\Omega(r d_1 d_2/\varepsilon)$；在远离边界区间（$\tau \geq 1+\Omega(1)$）时，证明查询复杂度对两种误差（Choi 迹范数与 diamond 范数）均为 $\Theta(r d_1 d_2/\varepsilon^2)$。我们的结果揭示了量子信道态 tomographic 查询复杂度中的尖锐的 Heisenberg 到经典相位转变：当 $\tau=1$ 时，最优查询复杂度 exhibits Heisenberg 标度 $1/\varepsilon$，而当 $\tau\geq 1+\Omega(1)$ 时，exhibits 经典标度 $1/\varepsilon^2$。此外，我们证明在近边界区间（$1< \tau < 1+o(1)$）中，查询复杂度 exhibits Heisenberg 与经典标度行为的混合形式。