基于折扣Hamilton-Jacobi-Isaacs方程稳定流形的最优$H_{\infty}$控制

无限时间域上的最优$H_{\infty}$控制问题，其性能函数包含折扣因子$e^{-\alpha t}$ ($\alpha > 0$)，在多个领域具有重要意义。求解该最优$H_{\infty}$控制问题等价于求解一个折扣Hamilton-Jacobi-Isaacs (HJI)偏微分方程。本文首先给出了折扣因子$\alpha$的一个精确估计，以确保HJI方程存在非负镇定解。该镇定解对应于HJI方程特征系统的稳定流形，由于折扣因子的存在，该特征系统是一个接触Hamilton系统。其次，我们证明了以自然方式近似最优控制器会导致闭环系统具有一个有限的$L_2$-增益，该增益几乎小于原系统的增益。第三，基于所获得的理论结果，我们提出了一种深度学习算法，利用与HJI方程相关的接触Hamilton系统的稳定流形来近似最优控制器。最后，我们将我们的方法应用于Allen-Cahn方程的$H_{\infty}$控制，以说明其有效性。