考虑水成本的大型水坝最优控制

考虑一个水坝模型,$L^{upper}$ 与 $L^{lower}$ 分别为上限与下限,$L = L^{upper}-L^{lower}$ 很大,若水位介于这两个界限之间,则称水坝处于正常状态。越过下限或上限会导致损毁。令 $J_1=j_1L$ 与 $J_2=j_2L$ 分别表示越过下限与相应上限的单位时间损毁成本,其中 $j_1$ 与 $j_2$ 为给定的实常数。假设水的输入流由 Poisson 过程描述,而输出流依赖于状态。令 $L_t$ 表示时刻 $t$ 的水位,$c_{L_t}$ 表示水位 $L_t$ ($L^{lower}<L_t\leq L^{upper}$) 处的水成本。假设 $p_1=\lim_{t\to\infty}\mathbf{P}\{L_t=L^{lower}\}$, $p_2=\lim_{t\to\infty}\mathbf{P}\{L_t>L^{upper}\}$ 与 $q_i=\lim_{t\to\infty}\mathbf{P}\{L_t=i\}$ ($L^{lower}<i\leq L^{upper}$) 存在,本文的目标是为输出流选择参数(文中具体定义)以最小化长期开销 $$J=p_1J_1+p_2J_2+\sum_{i=L^{lower}+1}^{L^{upper}}q_ic_i.$$