具有粗糙系数的多尺度方程的最优控制

本文研究由具有任意粗糙 $L^\infty$ 系数的多尺度椭圆方程控制的凸最优控制问题，其在复合材料和地球物理中有重要应用。我们使用近年发展的数值均匀化技术之一，即所谓的粗糙多调和样条（RPS）及其推广（GRPS），以在粗尺度上高效求解椭圆算子。这些方法具有最优收敛速率，且不依赖于系数的正则性，也不依赖尺度分离或遍历性概念。由于最优控制问题 OCP-OPT 公式的迭代求解需要多次求解相应的（状态与伴随）多尺度椭圆方程且右端项不同，数值均匀化方法仅需在一次细尺度预计算，后续迭代的计算代价与粗自由度成正比。文中给出数值实验以验证理论分析。