趋化系统的最优控制与基于伴随的多松弛时间格子 Boltzmann 模型优化

本文致力于研究由一类重要的非线性耦合各向异性对流扩散趋化型系统（NCACDCS）控制的最优控制问题的连续与离散伴随优化方法。本研究的动机在于，所考虑的复杂系统（具有复杂几何）出现在多种生化、生物和生物社会犯罪学问题中。为了数值求解相应的非线性优化问题，原问题 NCACDCS 由带一般多松弛时间碰撞算子（MRT）的耦合格子 Boltzmann 方法进行离散，而对于伴随问题，则提出并研究了一个伴随多松弛时间格子 Boltzmann 模型（AMRT）。首先，对最优控制问题进行表述，并利用灵敏度和伴随微积分建立一阶必要最优性条件。所得问题通过耦合的 MRT 和 AMRT 模型进行离散，并利用梯度下降法求解。首先，针对 NCACDCS 开发了一个高效稳定的修正 MRT 模型，并通过 Chapman-Enskog 分析表明 NCACDCS 可以从所提出的 MRT 模型中正确恢复。对于伴随问题，离散策略基于 AMRT 模型，发现其与 MRT 模型一样简单，且同样具有高效的并行特性。利用所开发的 MRT 模型，在数学上详细推导了 AMRT 模型与离散代价泛函梯度。所得方法可靠、高效、易于实现，且可轻松并入任何现有的 MRT 代码中。