椭圆分布 Tyler M 估计器的最优下界

统计学中的一个基本问题是估计椭圆分布的形状矩阵。这一般化了人们熟悉的高斯协方差估计问题，后者的样本协方差实现了最优的估计误差。对于椭圆分布，Tyler 提出了一种自然的 M 估计器，并在渐近 regime 下展示了强大的统计特性，独立于底层分布。数值实验表明，这一估计器表现得很好，Tyler 的迭代过程快速收敛到该估计器。Franks 和 Moitra 最近首次在有限样本设置下提供了分布无关的误差下界，以及 Tyler 迭代过程的第一次严格收敛分析。然而，他们的结果相对于高斯设置的样本复杂度多了一个 $\log^{2} d$ 因子。我们通过为所有椭圆分布的 Tyler M 估计器证明最优样本阈值和误差下界，完全匹配高斯结果，从而缩小了这一差距。此外，我们即使在这个更低的样本阈值下，也恢复了算法收敛性。我们的ethods 建立在 Franks 和 Moitra 的算子缩放连接基础上，通过引入一种称为 $\infty$-扩张的新奇伪随机条件来实现。我们展示了椭圆分布在最优样本阈值处满足 $\infty$-扩张，然后证明了满足此条件的输入的一种新型缩放结果。