(2+1) 维拓扑 Pauli 稳健码边界与缺陷的算子代数与算法构造

量子低密度校验码（如 Kitaev toric code 和二元双循环码）通常以周期性边界条件定义，这在实际物理系统中难以实现。本文提出了一种用于构造二维 Pauli 稳健码所有带间隙边界和缺陷的算法。通过算子代数形式化，我们建立了二维 Bulk 稳健码的拓扑数据（如任意子融合规则和拓扑自旋）与一维边界异常子系统码之间的一一对应关系。为使算子代数在计算上可及，我们采用拉普朗斯多项式并将任务转化为矩阵运算，例如使用 Hermite 标准形获取边界任意子，使用 Smith 标准形确定融合规则。该方法使计算机能够通过边界任意子压缩和拓扑秩序完善，自动生成拓扑 Pauli 稳健码的所有可能带间隙边界和缺陷。这大大简化了面板码及其关联逻辑操作的分析。我们的算法适用于 $\mathbb{Z}_d$ qudit 且适用于素数与非素数 $d$，从而 enables 探索 Kitaev toric code 之外的拓扑相。我们应用了该算法并明确演示了 $\mathbb{Z}_2$ toric code 的 2 个边界和 6 个缺陷、$\mathbb{Z}_4$ toric code 的 3 个边界和 22 个缺陷、双半子码的 1 个边界和 2 个缺陷、六半子码的 1 个边界和 22 个缺陷、color code 的 6 个边界和 270 个缺陷，以及异常三费子码的 6 个缺陷。最后，我们研究了二元双循环码的边界，发现其具有较大的逻辑维度和持续平移周期的任意子。