亏格一中具有多个未积分 puncture 的开弦积分

我们研究单圈开弦振幅中间步骤中出现的积分，这些积分在环面的 $A$-圈上具有多个未积分 puncture。我们构造了这样一组积分的向量，在对 $N$ 个未积分 puncture 和模参数 $\tau$ 取全微分后闭合。发现这些积分满足椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) 方程，并且可以写成关于 $\alpha'$——弦长度平方——的幂级数，用椭圆多重多对数 (eMPLs) 表示。在 $N$ 个 puncture 的情形中，KZB 方程揭示了 $B_{1,N}$（环面上 $N$ 股的辫群）作用在其解上的表示。我们写出这些辫群元素中最简单的一个——将一个 puncture 绕另一个辫绕——并得到 eMPLs 解析延拓的生成函数。所谓普适情形下的 KZB 方程用亏格一 Drinfeld-Kohno 代数 $\mathfrak{t}_{1,N} \rtimes \mathfrak{d}$（一个分次代数）表示。我们的构造确定了该代数若干生成元的多种维数的矩阵表示，这些表示在可交换项之前保持其次数。