开独立开定位支配集：若干图类的结构性质

设 $G=(V(G),E(G))$ 为顶点集 $V(G)$、边集 $E(G)$ 的有限简单无向图，顶点子集 $S\subseteq V(G)$。若 $G$ 中每个顶点在 $S$ 中至少有一个邻点，则称 $S$ 为开支配集；若 $G$ 中任意两个顶点在 $S$ 中的邻点集互不相同，且 $S$ 中每个顶点恰被 $S$ 开支配一次，则称 $S$ 为开独立开定位支配集（简称 $OLD_{oind}$-集）。判定 $G$ 是否存在 $OLD_{oind}$-集的问题已在别处有重要应用的报道。由于该问题已知为 $\mathcal{NP}$-完全，其难度颇高：我们证明即便对于最大度五、围长六的平面二部图，以及围长九的平面亚三次图，其复杂度仍保持不变。此外，我们给出了具有 $OLD_{oind}$-集的 $P_4$-tidy 图与余图补棱柱的刻画。