基于细咬方法的在线边染色算法

近三十年前，Bar-Noy、Motwani 和 Naor [IPL'92] 猜想，对于最大度 $\Delta=\omega(\log n)$ 的 $n$ 节点图，存在一种在线 $(1+o(1))\Delta$-边染色算法。该猜想在一般情况下仍未解决，尽管最近在\emph{单侧顶点到达}下的二部图中被 Cohen 等人 [FOCS'19] 证明。类似地，我们研究在广泛研究的在线模型松弛下的边染色。我们的主要结果在\emph{随机顺序}在线模型中。对于该模型，已知结果在度界 [Aggarwal 等人 FOCS'03] 或所用颜色数 [Bahmani 等人 SODA'10] 上均未达到 Bar-Noy 等人的猜想。我们实现了两全其美，从而在该模型下肯定地解决了 Bar-Noy 等人猜想。我们的第二个结果是在带\emph{回溯}的对抗式在线（及动态）模型中。Duan 等人 [SODA'19] 近期算法给出了具有 poly$(\log n/\epsilon)$ 回溯的 $(1+\epsilon)\Delta$-边染色。我们以 poly$(1/\epsilon)$ 回溯实现了相同结果，从而去除了对 $n$ 的所有依赖。支撑我们结果的是一个共同的离线算法，我们展示了如何在这两种在线模型中实现它。我们的算法基于 Rödl 细咬方法（Nibble Method），是 Dubhashi 等人 [TCS'98] 分布式算法的改编。细咬方法已在分布式边染色中被证明成功。我们展示了它在在线算法背景下的有用性。