啃食长圈：最优时间内的动态（与静态）边染色

我们考虑在具有 $n$ 个节点且最大度至多为 $\Delta$ 的动态图 $G$ 中维护 $(1+\epsilon)\Delta$-边染色的问题。最先进的更新时间为 $O_\epsilon(\text{polylog}(n))$，由 Duan、He 和 Zhang [SODA'19] 以及 Christiansen [STOC'23] 给出，更精确地说是 $O(\log^7 n/\epsilon^2)$，其中 $\Delta = \Omega(\log^2 n / \epsilon^2)$。由此产生如下自然问题：该任务算法的最佳可能更新时间是什么？更具体地，\textbf{我们能否将其一路降至某个常数}（对于常数 $\epsilon$）？此问题与问题的\emph{静态}时间壁垒一致：即便对于 $(2\Delta-1)$-染色，也只有一个朴素的 $O(m \log \Delta)$ 时间算法。我们肯定地回答了这一基本问题，给出了一个动态 $(1+\epsilon)\Delta$-边染色算法，其更新时间为 $O(\log^4 (1/\epsilon)/\epsilon^9)$，前提是 $\Delta = \Omega_\epsilon(\text{polylog}(n))$。作为推论，我们也得到了首个线性时间（对于常数 $\epsilon$）的\emph{静态} $(1+\epsilon)\Delta$-边染色算法；特别地，我们实现了 $O(m \log (1/\epsilon)/\epsilon^2)$ 的运行时间。我们通过将 Bhattacharya、Grandoni 和 Wajc [SODA'21] 的 \textsc{Nibble} 算法的一个变体与 Kulkarni、Liu、Sah、Sawhney 和 Tarnawski [STOC'22] 的子采样技术仔细结合，得到了上述结果。