数轴上的在线确定性最小成本二分匹配问题中的延迟

我们研究在线最小成本二分完全匹配的延迟问题。在此问题中，$m$ 个服务器和 $m$ 个请求随时间到达，算法可通过支付延迟费用来延迟服务器与请求之间的匹配。目标是最小化总距离和延迟费用。当服务器和请求位于已知度量空间中时，存在一种随机化的 $O(\log n)$-competitive 算法，其中 $n$ 为度量空间的大小。当度量空间事先未知时，Azar 和 Jacob-Fanani 提出一种确定性 $O\left(\frac{1}{\epsilon}m^{\log\left(\frac{3+\epsilon}{2}\right)}\right)$-competitive 算法，其中 $\epsilon > 0$ 为固定常数。该竞争比率在 $n=1$ 时最紧，当 $\epsilon$ 足够小时变为 $O(m^{0.59})$。本文针对服务器和请求位于实数轴上的情况，对 Azar 和 Jacob-Fanani 的结果进行改进，提供一种确定性 $\tilde{O}(m^{0.5})$-competitive 算法。我们的算法基于 Raghvendra 提出的 Robust Matching (RM) 算法。该算法在最小成本二分完全匹配问题中使用，允许延迟，所有服务器在开始时到达。当请求到达时，RM 算法根据请求的最小 $t$-net-cost 增广路径立即将其匹配给空闲服务器，其中 $t > 1$ 为常数。在我们的算法中，我们在请求等待时间超过其最小 $t$-net-cost 除以 $t$ 时才进行匹配。