带延迟的在线 k-Way 匹配与 H-度量

在本文中，我们研究带延迟的 $k$-Way 最小代价完美匹配——即 $k$-MPMD 问题。该问题考虑一个具有 $n$ 个节点的度量空间。请求以在线方式到达这些节点。任务是将这些请求匹配成恰好 $k$ 个一组的集合，使得所有被匹配请求的空间与时间代价最小化。空间代价的概念需要定义一个给出 $k$ 个元素子集距离的底层度量空间。对于 $k>2$，寻找合适度量空间的任务是该问题的核心：我们证明，对于某些推广到 $k=3$ 个点的已知度量，如 $2$-度量与 $D$-度量，不存在针对 $3$-MPMD 问题的竞争随机算法。$G$-度量针对 3 个点定义，并允许针对 $3$-MPMD 问题的竞争算法。对于 $k>3$ 个点，存在两种已知的 $G$-度量推广，称为 $n$-度量与 $K$-度量。我们证明 $n$-度量与 $K$-度量均不能用于 $k$-MPMD 问题。在正面结果方面，我们引入了 $H$-度量，这是首个允许对所有 $k$ 求解 $k$-MPMD 问题的度量。为了设计 $H$-度量上 $k$-MPMD 问题的在线算法，我们将 $H$-度量以 $O(\log n)$ 的失真嵌入到树中。基于该嵌入结果，我们扩展了 Azar 等人（2017）提出的算法，并对 $k$-MPMD 问题取得了 $O(\log n)$ 的竞争比。