一维射影结构、凸曲线以及 Benguria & Loss 的卵形线

Benguria 和 Loss 猜想，在平面中所有长度为 $2\pi$ 的光滑闭曲线中，算子 $L=-\Delta+\kappa^2$ 的最低可能特征值为 1。他们观察到该值在一个包含圆并坍缩为二重线段的几何上不同的两参数族卵形线 $\mathcal{O}$ 上达到。我们将 $\mathcal{O}$ 中的曲线刻画为两个相关几何泛函的绝对极小值。我们还讨论了与射影微分几何的联系，并利用它来解释所有三个问题的自然对称性。