关于$Z_{p^r}Z_{p^r}Z_{p^s}$-加性循环码

本文中,我们引入$\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^s}$-加性循环码,其中$r\leq s$。这些码可识别为$\mathbb{Z}_{p^s}[x]$-子模$\mathbb{Z}_{p^r}[x]/\langle x^{\alpha}-1\rangle \times \mathbb{Z}_{p^r}[x]/\langle x^{\beta}-1\rangle\times \mathbb{Z}_{p^s}[x]/\langle x^{\gamma}-1\rangle$。我们确定了该类码的生成多项式与极小生成集。先前已有一些工作针对$p=2$且$r=s=1$、$r=s=2$以及$r=1,s=2$的情形。然而,我们指出这些先前工作中对这些码的分类不完整,而本文中的结论补全了此类分类。我们还讨论了可分离$\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^s}$-加性循环码的结构并确定其生成多项式。进一步地,我们也研究了$\mathbb{Z}_{p^s}[x]$-子模的对偶性。作为应用,我们给出若干例子并构造了一些最优二元码。