论十点的弱可缩非可缩有限拓扑空间

Cianci 和 Ottina 证明了同伦平凡的非可缩有限 $T_0$-空间的点数不能少于九个，并对恰好具有九个点的所有此类空间进行了分类。本文完成了对恰好具有十个点的空间的分类。当中间元素的个数为一个或两个时，不存在这样的空间；这是通过欧拉示性数算术、节拍点论证以及对强制裸边的分析来证明的。当恰好具有三个中间元素时，在同胚意义下恰好有六个空间，构成三种显式类型及其对偶序；当恰好具有四个中间元素时，恰好有四个这样的空间。这十个有效空间均被证明具有可缩的序复形：给出了七个显式的基本坍缩序列，分别对应类型 I 至 VII，而其余三个空间（类型 I、II 和 III 的对偶序）根据单纯复形的恒等式 $\mathcal{K}(X^{\mathrm{op}})=\mathcal{K}(X)$ 继承可缩性，因为 $X$ 和 $X^{\mathrm{op}}$ 中的链作为集合是重合的，且 $\mathcal{K}(X)$ 的任何坍缩序列同时也是 $\mathcal{K}(X^{\mathrm{op}})$ 的坍缩序列。