关于布朗桥与布朗运动的 Vervaat 变换

对于连续函数 $f \in \mathcal{C}([0,1])$，定义 Vervaat 变换为 $V(f)(t):=f(\tau(f)+t \mod1)+f(1)1_{\{t+\tau(f) \geq 1\}}-f(\tau(f))$，其中 $\tau(f)$ 对应于 $f$ 首次达到最小值的时刻。受近期关于随机游走和布朗运动分位数变换研究的启发，我们研究了具有任意端点的布朗运动及布朗桥的 Vervaat 变换。当桥的两个端点不相同时，Vervaat 变换不具有马尔可夫性。我们通过路径分解描述其分布，并研究其半鞅性质。此外，还推导了布朗运动 Vervaat 变换的期望与方差。