牛顿二体运动中的潮汐能量

在这项基于 Christodoulou 所进行的基本线性分析的工作中，我们研究两个遵循 Euler-Poisson 方程、具有自由边界的引力不可压缩流体球的运动中的潮汐能量演化。轨道能量定义为两体质心的机械能。根据 Kepler 和 Newton 的经典分析，当流体被点质量替代时，描述质量轨迹的圆锥曲线在轨道能量为正时是双曲线，在轨道能量为负时是椭圆。在点质量情形下，轨道能量守恒。如果点质量初始相距很远，则轨道能量为正，对应于双曲线运动。然而，在流体体的运动中，轨道能量不再守恒，因为部分守恒能量被用于变形物体的边界。在这种情况下，总能量 $\tilde{\mathcal{E}}$ 可以分解为 $\tilde{\mathcal{E}}:=\widetilde{\mathcal{E}_{{\mathrm{orbital}}}}+\widetilde{\mathcal{E}_{{\mathrm{tidal}}}}$，其中 $\widetilde{\mathcal{E}_{{\mathrm{tidal}}}}$ 度量用于变形边界的能量，使得如果对于某个绝对常数 $c>0$ 有 $\widetilde{\mathcal{E}_{{\mathrm{orbital}}}}<-c<0$，则物体的轨道必定是有界的。在这项工作中，我们证明在系统初始构型的适当条件下，流体边界和速度在轨道中第一次最接近点之前保持正则，并且潮汐能量 $\widetilde{\mathcal{E}_{{\mathrm{tidal}}}}$ 可以相对于总能量 $\tilde{\mathcal{E}}$ 变得任意大。特别是在这些条件下，初始为正的 $\widetilde{\mathcal{E}_{{\mathrm{orbital}}}}$ 在第一次最接近点之前变为负值。