关于超图独立多项式的零点

我们研究有界度超图独立多项式的复零点位置。对于图而言，这是一个被长期研究的课题，在统计物理、算法和组合学中有应用。关于有界度图无零区域的结果包括 Shearer 关于最优无零圆盘的结果，以及近期关于其他无零区域的若干结果。对于超图则所知甚少。我们通过证明最大度为 $\Delta$ 的所有超图都有一个几乎与 Shearer 所建立的最大度为 $\Delta$ 的图的最优圆盘（半径约为 $1/(e \Delta)$）一样大的无零圆盘，朝着理解有界度超图无零区域迈出了几步。这在 $\Delta$ 的对数因子范围内是最优的，即使对于边大小均严格大于 $2$ 的超图也是如此。我们猜想，对于 $k\ge 3$，$k$-一致线性超图有一个大得多的半径为 $\Omega(\Delta^{- \frac{1}{k-1}} )$ 的无零圆盘。我们在线性超树的情形下确立了该猜想。