顶点与边删除下一般位置问题的 varieties

设 ${\rm gp}_{\rm t}(G)$, ${\rm gp}_{\rm o}(G)$, 和 ${\rm gp}_{\rm d}(G)$ 为图 $G$ 的总一般位置数、外一般位置数和双因子一般位置数。本文研究删除单个顶点或删除一条边后，这些图不变量的变化。证明若 $x$ 不是割顶，则 ${\rm gp}_{\rm t}(G)-1 \le {\rm gp}_{\rm t}(G-x) \le {\rm gp}_{\rm t}(G) + {\rm deg}_G(x)$。另一方面，${\rm gp}_{\rm o}(G-x)$ 和 ${\rm gp}_{\rm d}(G-x)$ 分别相对于 ${\rm gp}_{\rm o}(G)$ 和 ${\rm gp}_{\rm d}(G)$ 可任意更大或更小。在积极方面，证明若 $x$ 属于某个 ${\rm gp}_{\rm o}$-集合，则 ${\rm gp}_{\rm o}(G)-1 \le {\rm gp}_{\rm o}(G-x)$，且若 $x$ 不是割顶且位于 $G$ 的某个 ${\rm gp}_{\rm d}$-集合中，则 ${\rm gp}_{\rm d}(G)-1 \le {\rm gp}_{\rm d}(G-x)$。对于边的删除，证明:(i) ${\rm gp}_{\rm t}(G) -|S(G)_{e}| \le {\rm gp}_{\rm t}(G-e) \le {\rm gp}_{\rm t}(G) +2$，其中 $S(G)_{e}$ 为与 $e$ 的两个端点都相邻的单纯顶点集合，(ii) ${\rm gp}_{\rm o}(G)/2\le {\rm gp}_{\rm o}(G-e)\leq\ 2{\rm gp}_{\rm o}(G)$，且(iii) ${\rm gp}_{\rm d}(G) - {\rm gp}_{\rm d}(G-e)$ 可任意大。所有界限均已证明为尖锐的。