一般位置集的刻画及其在余图与二部图上的应用

图 $G$ 的顶点子集 $S$ 若满足 $S$ 中无顶点位于 $S$ 中另两顶点之间的测地线上,则称其为 $G$ 的一般位置集。 $G$ 的最大一般位置集的基数称为 $G$ 的一般位置数 ${\rm gp}(G)$。证明了 $S\subseteq V(G)$ 处于一般位置当且仅当 $G[S]$ 的连通分支为完全子图,其顶点构成 $S$ 的一个非传递、距离常数划分。若 ${\rm diam}(G) = 2$,则 ${\rm gp}(G)$ 为 $\omega(G)$ 与 $G$ 的补图的诱导完全多部子图最大阶数之最大值。由此,余图 $G$ 的 ${\rm gp}(G)$ 可在多项式时间内确定。若 $G$ 为二部图,则 ${\rm gp}(G) \leq \alpha(G)$,当 ${\rm diam}(G) \in \{2,3\}$ 时取等。推导了任意二部图补图的一般位置数公式,并对树、网格与超立方体的补图进行了简化。