关于有质量标量粒子从量子到经典区域的转变：一种时空方法

如果时空是预先设定的，则包含一个有质量标量粒子的量子系统的薛定谔方程的解ψ(x,t)的坐标表示具有优先地位。然后可以对密度矩阵ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2（以及更一般的Wigner函数）围绕适当选择的时空轨迹x_c(t)进行多极展开。一组特殊的解ψ_EMWF(x,t)，称为埃伦费斯特单极波函数(EMWF)，其特征是：(i)位置算符的量子期望值在任何时刻都与所寻找的经典轨迹重合，<ψ_EMWF|̂x|ψ_EMWF>=x_c(t)：这仅在偶极矩为零时可能；(ii)埃伦费斯特定理对位置和动量算符的期望值成立：将其应用于EMWF则导致经典轨迹的封闭牛顿运动方程，其中有效力是牛顿力加上依赖于概率分布ρ的高阶多极矩的非牛顿项（阶数为ħ^2或更高）。这些结果可以推广到N粒子系统和相对论量子力学。这与玻尔的观点基本一致：涉及有质量粒子的实验的制备、某些中间步骤和最终结果的检测的宏观描述由这些“经典有效轨迹”主导。在退相干框架内，当约化密度矩阵中出现的粒子和指针波函数都是EMWF时，会发生从非正常量子混合到经典统计混合的转变。