关于具有特殊跟踪时间的集合的拓扑熵

设 $(X,d,T )$ 为具有规范性质的动力系统。对于 $\alpha\in \mathbb R^+$ 及任意 $x_0\in X$，定义 $$\mathbf D^{x_0}_\alpha :=\Big\{x\in X: \lim\limits_{\epsilon\to 0}\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\max\{t\in\mathbb N:~T^n(x)\in B_{t}( x_0,\epsilon)\}}{n}\geq \alpha\Big\}.$$ 则有 $h_{top}^{B} ( T, \mathbf D^{x_0}_\alpha )= \dfrac{h_{top}(T)}{1+\alpha}$，其中 $h_{top}^{B} ( T, \mathbf D^{x_0}_\alpha )$ 表示 $\mathbf D^{x_0}_\alpha$ 的 Bowen 拓扑熵。