关于类数为一的虚循环四次域的 tame kernel

Tate 首先提出了一种确定 $K_2\mathcal{O}_F$（即 $F$ 的 tame kernel）的方法，并给出了对一些小判别式特殊二次域的具体计算。此后，给出了判别式较大的二次域的许多例子，并且对三次域和判别式不大的一些特殊四次域也做了类似的工作。在本文中，我们研究了类数为一且判别式较大的更一般的虚循环四次域 $F=\mathbb{Q}\Big(\sqrt{-(D+B\sqrt{D})}\Big)$ 的情形。关键问题是如何将计算中出现的巨大理论上界降低至可处理的范围，而主要难点是如何处理计算过程中涌现的大规模数据。为了解决这个问题，我们建立了一个通用的计算架构，特别是完成了以下工作：(1) 在 C++ 代码中调用了 PARI 的函数；(2) 在 C++ 代码中使用了并行编程方法；(3) 在算法和代码设计中采用了面向对象的视角，从而获得了一个可扩展的程序。作为我们程序的应用，我们证明了在以下三种情形下 $K_2\mathcal{O}_F$ 是平凡的：$B=1,D=2$ 或 $B=2, D=13$ 或 $B=2, D=29$。在最后一种情形中，$F$ 的判别式为 24389，因此，我们可以声称我们的架构也适用于判别式小于 25000 的数域的 tame kernel 计算。