关于置换不变停车组合的结构

我们继续研究停车组合（parking assortments），这是由 Chen、Harris、Martínez、Pabón-Cancel 和 Sargent 引入的停车函数的一般化。给定长度为 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots,y_n) \in \mathbb{N}^n$ 的 $n$ 辆车，我们关注 $\mathbf{y}$ 的置换不变（分别对应非减）停车组合的集合 $\mathsf{PA}^{\mathrm{inv}}_n(\mathbf{y})$ 和 $\mathsf{PA}^{\mathrm{inv},\uparrow}_n(\mathbf{y})$。对于 $\mathbf{x} \in \mathsf{PA}^{\mathrm{inv}}_n(\mathbf{y})$，我们引入 $\mathbf{x}$ 的次数（degree），即 $\mathbf{x}$ 的非 $1$ 项的数目，以及 $\mathbf{y}$ 的特征 $\chi(\mathbf{y})$，即 $\mathbf{z} \in \mathsf{PA}^{\mathrm{inv}}_n(\mathbf{y})$ 的最大次数。我们建立了 $\chi(\mathbf{y})=0$ 的 $\mathbf{y}$ 的直接必要条件，以及 $\chi(\mathbf{y})=n-1$ 的 $\mathbf{y}$ 的刻画。对于后者，我们导出其不变停车集合的闭式并借助 Pitman-Stanley 多面体的性质枚举其大小。接下来，我们证明不变停车集合的闭包与嵌入性质。我们将这些结果应用于研究作为函数的次数以及在前缀长度向量序列下的特征。然后我们考察不变解集 $\mathcal{W}(\mathbf{y})=\{ w \in \mathbb{N}:(1^{n-1},w) \in \mathsf{PA}^{\mathrm{inv}}_n(\mathbf{y}) \}$。我们得到该集合的紧上界，并证明其大小至多为 $2^{n-1}$，给出了使等号成立时 $\mathbf{y}$ 的子序列和所满足的约束。最后，我们证明若 $\mathbf{x} \in \mathsf{PA}^{\mathrm{inv},\uparrow}_n(\mathbf{y})$，则 $\mathbf{x} \in \{ 1 \}^{n-\chi(\mathbf{y})} \times \mathcal{W}(\mathbf{y})^{\chi(\mathbf{y})}$，这给出了 $|\mathsf{PA}^{\mathrm{inv},\uparrow}_n(\mathbf{y})|$ 的一个新上界。我们的结果推广了 Chen 等人的若干定理。