停车数学：变化的停车率

在经典停车问题中，单位区间（“车长”）以均匀随机方式无重叠地放置。过程在饱和时终止，即直到不能再放入更多单位区间。本文给出该问题的一个推广，其中单位区间以速率为 $\lambda$ 的指数分布放置。我们证明饱和时区间个数的数学期望满足某个积分方程。利用 Laplace 变换与 Tauber 定理，我们研究该函数的渐近行为，并给出一种计算大 $\lambda$ 时相应极限的方法。进而，我们导出该函数导数的另一积分方程，并借助积分方程的若干渐近结果计算小 $\lambda$ 时的上述极限。我们还证明相应极限在 $\lambda$ 趋于零时收敛于均匀情形，得到著名的 Renyi 常数。最后，我们揭示了饱和时区间个数的方差的渐近行为。