循环叶状结构 Laplace 特征多项式的结构

在本文中，我们描述了无穷图族 $H_n=H_n(G_1,\,G_2,\ldots,G_m)$ 的 Laplace 特征多项式 $\chi_n(\lambda)$ 的结构，该图族是建立在 $m$ 个顶点图 $H$ 之上、以 $G_1,\,G_2,\ldots,G_m$ 为纤维的循环叶状结构。该叶状的每个纤维 $G_i=C_n(s_{i,1},\,s_{i,2},\ldots,s_{i,k_i})$ 是 $n$ 个顶点上带有跳跃 $s_{i,1},\,s_{i,2},\ldots,s_{i,k_i}$ 的循环图。此图族包含广义 Petersen 图族、$I$-图、循环图的三明治图、离散环面图等。我们证明了此类图的特征多项式可分解为在 Chebyshev 多项式线性组合的根处求值的代数函数的有限乘积。此外，我们证明特征多项式可表示为形式 $\chi_n(\lambda)=p(\lambda)\,\chi_H(\lambda)a(n)^2$，其中 $a(n)$ 是整数多项式序列，$p(\lambda)$ 是给定的整数多项式。进而，我们利用所得结果给出了谱图不变量（如生成树数目和生成有根森林数目）的解析公式。