关于非均匀间隔样本插值与求积的稳定性

来自周期函数的非均匀间隔样本在信号处理中很常见，通常可被视为受扰动的等距网格。本文分析了样本的非均匀分布如何影响插值和求积的质量。从 $[-\pi,\pi)$ 上网格间距为 $h$ 的等距节点出发，假设非均匀间隔节点是通过将每个均匀节点扰动一个任意量 $\leq \alpha h$ 得到的，其中 $0 \leq \alpha < 1/2$ 是一个固定常数。我们证明了 Kadec-1/4 定理的离散版本，该定理指出，对于任何 $\alpha < 1/4$，与扰动节点相关的非均匀离散傅里叶变换具有与 $h$ 无关的有界条件数。我们进一步证明，当 $0 \leq \alpha < 1/4$ 时，非均匀间隔求积规则对所有连续函数收敛，且插值对所有导数具有有界变差的可微函数一致收敛。尽管对于任何 $\alpha > 0$，扰动节点处的求积规则可能具有负权重，但我们提供了求积权重绝对值之和的一个界。因此，我们证明了具有较小 $\alpha$ 的扰动等距网格可以无数值困扰地使用。虽然我们的证明技术主要适用于 $0 \leq \alpha < 1/4$ 的情况，但我们表明，少量的过采样可将我们的结果扩展到 $1/4 \leq \alpha < 1/2$ 的情形。