有限张量范畴的谱与支持理论

有限张量范畴（FTCs）$\bf T$ 是有限维 Hopf 代数之有限维模范畴的重要推广，在数学与数学物理的诸多领域中起着关键作用。对此存在两种根本不同的支持理论：一种是基于上同调的，另一种是基于其稳定（三角）范畴 $\underline{\bf T}$ 的非交换 Balmer 谱的普适理论。在本文中，我们引入有限张量范畴 $\bf T$ 的上同调环 $R^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 的范畴中心 $C^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 这一关键概念。这使我们能够基于 $\bf T$ 的上同调环 $R^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 的范畴中心 $C^\bullet_{\underline{\bf T}}$，提出一个确定两种支持理论之间精确关系的完整而详细的方案。更具体地，我们构造了从有限张量范畴 $\bf T$ 的非交换 Balmer 谱到范畴中心 $C^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 的 $\text{Proj}$ 的连续映射，并证明在比 Etingof-Ostrik 所猜想更弱的有限生成假设下该映射是满射。在更强的假设下，我们证明 (i) 该映射是同胚，且 (ii) $\underline{\bf T}$ 的双侧厚理想由 $\text{Proj} C^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 的 specialization closed 子集分类。我们猜想这两个结果对所有 FTC 均成立。文中给出许多例子，展示在重要情形下 $C^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 如何作为 $R^\bullet_{\underline{\bf T}}$ 的不动点子环出现，以及 $\underline{\bf T}$ 的双侧厚理想如何以统一方式确定。我们的大部分结果是在单射三角范畴的更一般情形下证明的。