关于 Hilbert 空间框架的符号分布

我们证明，对于实 $L^{2}$ 空间中关于连续测度的任意框架，其正部与负部 $u_{k}^{\pm }$ 均具有“无穷 $l^{2}$ 质量”：1）恒有 $\sum _{k}u_{k}^{\pm }(x)^{2}=\infty$ 几乎处处成立（特别地，不存在正框架，也不存在 Riesz 基），但 2）$\sum _{k=1}^{n}(u_{k}^{+}(x)-u_{k}^{-}(x))^{2}$ 可以“局部地”任意慢地增长（当 $n\longrightarrow \infty$），且 3）可能在正测度集上随着 $n\longrightarrow \infty$ 发生 $\sum _{k=1}^{n}u_{k}^{-}(x)^{2}=\, o(\sum _{k=1}^{n}u_{k}^{+}(x)^{2})$ 及其反过来的情形。关于 1)，对于 $L^{2}(0,1)$ 中正交基的情形早先已由 V. Ya. Kozlov（1948）用完全不同（且更复杂）的论证解决。我们的初等处理也包含了多种 Banach 空间中无条件基的情形。对于性质 2)，我们进一步证明，无论给定怎样的单调序列 $\epsilon _{k}>0$ 满足 $\sum _{k}\epsilon ^{2}_{k}=\, \infty$，都存在 $L^{2}$ 中的正交基 $(u_{k})_{k\ }$ 使得 $\vert u_{k}(x)\vert \leq \, A(x)\epsilon _{k}$，其中 $0<A(x)<\, \infty$。