关于屈曲特征值问题的位移-逆 Lanczos 方法

我们考虑提取屈曲特征值问题 $Kx = \lambda K_Gx$ 的少数所需特征对的问题，其中 $K$ 为对称半正定矩阵，$K_G$ 为对称不定矩阵，且束 $K - \lambda K_G$ 是奇异的，即 $K$ 与 $K_G$ 共享一个非平凡公共零空间。此外，在结构的实际屈曲分析中，$K$ 的零空间以及 $K$ 与 $K_G$ 的公共零空间的基是可获得的。开发工业级位移-逆 Lanczos 方法存在两个开放问题：(1) 位移-逆算子 $(K - \sigma K_G)^{-1}$ 不存在或条件极坏；(2) 使用由 $K$ 诱导的半内积使 Lanczos 向量迅速趋向 $K$ 的零空间，导致 Lanczos 向量在范数上快速增长，并造成信息的永久丢失以及方法的失败。在本文中，我们通过提出奇异束 $K - \lambda K_G$ 的广义屈曲谱变换以及通过对 $K$ 的半正定性进行低秩更新来正则化内积，解决了这两个问题。我们的方法的有效性通过数值算例得到验证，其中包括一个来自工业屈曲分析的算例。