K$\omega$ —— 面向 $(zI-H)x=b$ 型偏移 Krylov 子空间方法的开源库

我们开发了 K$\omega$，一个用于偏移 Krylov 子空间方法的开源线性代数库。该方法对给定矩阵 $H$ 与向量 $b$，同时求解一组偏移线性方程 $(z_k I-H)x^{(k)}=b\, (k=0,1,2,...)$。其运算代价的主阶与求解单个方程相同。Krylov 子空间的平移不变性是偏移 Krylov 子空间方法的数学基础。我们给出了材料科学中的应用，以展示该算法相对于 Lanczos 方法等标准 Krylov 子空间方法的优势。我们介绍了（i）激发（光学）谱与（ii）复平面上围道积分所得中间本征值的基准计算。结合量子晶格求解器 $\mathcal{H} \Phi$，K$\omega$ 可实现各类量子晶格模型的激发谱与中间本征值的并行计算。