关于两个完全图的笛卡尔积的安全集

对于连通图 $G$，若 $V(G)$ 的顶点子集 $S$ 满足：对于 $S$ 诱导的子图的每个连通分支 $C$，以及 $G-S$ 的每个与 $C$ 之间存在边的连通分支 $D$，均有 $|C| \ge |D|$ 成立，则 $S$ 称为安全集；特别地，若 $S$ 诱导的子图连通，则 $S$ 称为连通安全集。对于连通图 $G$，其安全数和连通安全数分别定义为 $G$ 的所有安全集大小的最小值和所有连通安全集大小的最小值。Fujita 等人结合设施选址问题的一个变体引入了这些概念。本文研究两个完全图的笛卡尔积的安全数与连通安全数。找出一种在不改变安全集大小的情况下将连通分支数减至两个的方法，使得只需考虑整数的二部分划分即可，否则处理所有划分会复杂得多。通过这种方式，我们证明了两个完全图的笛卡尔积的安全数与连通安全数相等，并给出了计算它们的多项式时间算法。特别地，当其中一个完全分支的阶不超过四时，我们精确给出了这些数。