论代数群的相对上同调

设 $G$ 为域 $k$ 上的代数群，$M$ 和 $N$ 为 $G$-模。1961 年，Hochschild 展示了如何定义上同调群 $\text{Ext}_{G}^{i}(M,N)$。Kimura 在 1965 年证明可以将其推广以获得代数群的相对上同调。原始的上同调群在理解 $G$ 的表示论中扮演重要角色，但相对上同调的作用仍未得到充分理解。本文在 Kimura 工作的基础上进行扩展，证明了关于相对上同调的基础性结果。作者首先给出了相对正合序列和相对内射模的定义，并证明了它们各自的一系列基本性质，这些性质对于定义相对上同调和获得相对 Grothendieck 谱序列至关重要。特别地，归纳函子在研究相对内射模时将发挥重要作用。在奠定必要的基础工作之后，给出了相对上同调的定义。最后，陈述了相对 Grothendieck 谱序列存在的条件，并提供了许多推论和例子。