幂特征序列的 Hankel 行列式序列的正则性

对任意序列 $\mathbf{u}=\{u(n)\}_{n\geq0}, \mathbf{v}=\{v(n)\}_{n\geq0},$ 我们定义 $\mathbf{u}\mathbf{v}:=\{u(n)v(n)\}_{n\geq0}$ 与 $\mathbf{u}+\mathbf{v}:=\{u(n)+v(n)\}_{n\geq0}$。设 $f_i(x)~(0\leq i< k)$ 为系数是整数序列的序列多项式。若 $$\{u(kn+i)\}_{n\geq0}=f_i(\mathbf{u}),~(0\leq i< k),$$ 则称整数序列 $\mathbf{u}=\{u(n)\}_{n\geq0}$ 为多项式生成序列。本文研究多项式生成序列。假设 $k\geq2$ 且 $f_i(x)=\mathbf{a}_ix+\mathbf{b}_i~(0\leq i< k)$。若对 $0\leq i< k$，$\mathbf{a}_i$ 是 $k$-自动的且 $\mathbf{b}_i$ 是 $k$-正则的，则我们证明相应的多项式生成序列是 $k$-正则的。作为一个应用，我们证明 Hankel 行列式序列 $\{\det(p_{i+j})_{i,j=0}^{n-1}\}_{n\geq0}$ 是 $2$-正则的，其中 $\{p(n)\}_{n\geq0}=0110100010000\cdots$ 是 2 的幂的特征序列。此外，我们给出了关于 Hankel 行列式的 Cigler 猜想的一个解答。