交换域扩张中向量空间的乘积

设 $K \subset L$ 为交换域扩张。给定 $L$ 的 $K$-子空间 $A$ 和 $B$，我们考虑由乘积集 $AB=\{ab \mid a \in A, b \in B\}$ 张成的子空间 $<AB>$。若 $\dim_K A = r$ 且 $\dim_K B = s$，则 $<AB>$ 的维数最小能是多少？本文在特征为 0 的情形下，以及更一般的可分扩张情形下，对这一问题给出了完整解答。在这种情况下，$\dim_K < AB>$ 的最优下界由数值函数 $$\kappa_{K,L}(r,s) = \min_{h} (\lceil r/h\rceil + \lceil s/h\rceil -1)h$$ 给出，其中 $h$ 遍历所有有限维中间域 $K \subset H \subset L$ 的 $K$-维数集合。该下界与加性数论中出现的一个下界密切相关。