关于稀疏随机图的布拉格维数

图 $G$ 的布拉格维数定义为其作为诱导子图被包含于其直积中的完全图的最小数量。该概念由 Nešetřil、Pultr 和 Rödl 于 1970 年代引入——其动机来自 Dushnik-Miller 的工作以及诱导 Ramsey 定理——确定图的布拉格维数是一个众所周知困难的问题。在本文中，我们证明对于所有 $\varepsilon > 0$ 和满足 $n^{-1+\varepsilon} \le p \le n^{-\varepsilon}$ 的 $p$，$G_{n,p}$ 的布拉格维数以高概率为 $\Theta_{\varepsilon}(pn)$，这改进了 Molnár、Rödl、Sales 和 Schacht 的近期结果。受 Bennett 和 Bohman 工作的启发，我们的方法集中于分析一个随机贪心过程，该过程通过从已选顶点的共同非邻域中均匀随机选取顶点来构建大小为 $\Omega(p^{-1}\log pn)$ 的独立集。利用微分方程方法，我们证明每条非边本质上被该过程覆盖的概率相等，这是建立我们界的关键。