论 Pierce-Birkhoff 猜想

本文代表了我们证明 Pierce-Birkhoff 猜想进程中的一步。20 世纪 80 年代，J. Madden 证明了环$A$的 Pierce-Birkhoff 猜想等价于关于任意点对$\alpha,\beta\in\sper\ A$及其分离理想$<\alpha,\beta>$的一个陈述；我们将此陈述称为在$\alpha,\beta$处的局部 Pierce-Birkhoff 猜想。在本文中，对于每个满足$ht(<\alpha,\beta>)=\dim A$的点对$(\alpha,\beta)$，我们定义了一个自然数，称为$(\alpha,\beta)$的复杂度。复杂度 0 对应于点$\alpha,\beta$之一为单项式的情形；该情形已在先前的一篇论文中针对所有维度得到解决。此处我们引入了一个名为强连通性猜想的新猜想，并证明了当$ht(<\alpha,\beta>)$小于$n-1$时，$n-1$维的强连通性猜想蕴含$n$维的连通性猜想。我们证明了 2 维情形下的强连通性猜想，从而得出当$ht(<\alpha,\beta>)$小于 2 时，任意维度下的连通性猜想和 Pierce-Birkhoff 猜想成立。最后，我们证明了当$A$的维度等于$ht(<\alpha,\beta>)=3$，点对$(\alpha,\beta)$的复杂度为 1，且$A$为具有实数剩余域的优良环时，连通性猜想（从而也包括 Pierce-Birkhoff 猜想）成立。