关于仿射映射的分段线性扰动

受 2007 年 M. Misiurewicz 和 A. Rodrigues 工作的启发 [Double Standard Maps, M. Misiurewicz, A. Rodrigues, Communications in Mathematical Physics]，我们考虑一族来自圆上的映射，这些映射是通过分段线性图来扰动翻倍映射。我们称之为翻倍映射的分段线性扰动（PLPDM），其公式为 $f_{a,b}(x)= \displaystyle \bigl(2x+a+\dfrac{b}{2} S(x) \bigr) // 1 \quad {\text {for }} x, a, b \in [0,1]$，其中 $y // 1$ 表示 $y \mod 1$（即 $y$ 的小数部分），而 $S(x)$ 是 $\sin 2\pi(x-1/4)$ 的分段线性近似。该映射 $S(x)$ 称为直正弦映射。定义超bolic 集合 $\mathcal{H}= \{ (a,b) \in \mathbb{R}/\mathbb{Z} \times [0,1] : f_{a,b} \text{存在吸引环} \}$。定义舌 tongue 为 $\mathcal{H}$ 中触及天花板 $\{b=1\}$ 的非退化区间的连通分量。其他任何连通分量称为 Eye。我们证明了 $f_{a,b}$ 在 $(a,b) \in \mathcal{H}$ 时吸引环的唯一性。随后我们定义“类型”并证明了所有类型的舌的存在性。我们还展示了吸引轨道的组合学如何决定该连通分量是舌还是 Eye。我们证明当 $(a,b) \notin \overline{\mathcal{H}}$ 时，$f_{a,b}$ 与翻倍映射是共轭的。将展示不同组合学对应的参数空间中存在 Eye 的实验证据。