关于树的Laplacian系数的序

我们推广了[X.-D. Zhang, X.-P. Lv, Y.-H. Chen, \textit{Ordering trees by the Laplacian coefficients}, Linear Algebra Appl. (2009), doi:10.1016/j.laa.2009.04.018]中关于给定直径树的偏序的结果。对于两个$n$个顶点的树$T_1$和$T_2$，如果对于所有Laplacian系数$c_k$，$k = 0, 1, ..., n$，有$c_k (T_1) \leqslant c_k (T_2)$，则称$T_1$被$T_2$支配，记为$T_1 \preceq_c T_2$。我们证明了在具有固定直径$d$的$n$个顶点的树中，毛毛虫树$C_{n, d}$具有最小的Laplacian系数$c_k$，$k = 0, 1,..., n$。给出了顶点数$\leqslant 18$的树中不可比较对的数量，以及Mohar最近提出的另外两种树偏序的无限族例子。对于每个整数$n$，我们构造了一个长度为$\frac{n^2}{4}$的$n$个顶点树的链$\{T_i\}_{i = 0}^m$，使得$T_0 \cong S_n$，$T_m \cong P_n$，并且对所有$i = 0, 1,..., m - 1$有$T_i \preceq_c T_{i + 1}$。此外，通过悬挂路径长度的优超不等式建立了星状树的偏序刻画。我们确定了具有固定最大度和完美匹配的极值树之间的关系，并进一步支持了Laplacian系数作为分支度量的观点。