论有向图中可达对的数量

有向图 $D$ 中的一对（不必不同的）顶点 $(u, v)$ 称为可达对，如果存在从 $u$ 到 $v$ 的有向路径。我们定义 $D$ 的权为 $D$ 的可达对数量，它等于 $D$ 中的顶点数与 $D$ 的传递闭包中有向边数之和。在本文中，我们研究 $n$ 个标号顶点上有向图的可能权集合 $W(n)$。我们证明 $W(n)$ 可以递归地确定，并描述了该集合中的整数。此外，如果 $b(n) \geqslant n$ 是使得不存在 $n$ 个顶点上恰好有 $b(n)+1$ 个可达对的有向图的最小整数，我们通过一个简单的递归公式精确确定了 $b(n)$，并找到了一个显式函数 $g(n)$ 使得对所有 $n \geqslant 3$ 有 $|b(n)-g(n)| < 2n$。利用这些结果，我们能够用一个对所有 $n \geqslant 3$ 与 $|W(n)|$ 的差在 $30n$ 以内的显式函数来近似 $|W(n)|$（它是关于 $n$ 的二次函数），从而回答了 Rao 的一个问题。由于 $n$ 个顶点上有向图的权对应于 $n$ 元集合上预序中的元素个数以及 $n$ 点空间拓扑中极小开集之间的包含关系的个数，我们的定理适用于预序和拓扑。