关于高斯核密度估计器的模数数量

我们考虑带带宽 $\beta^{-\frac12}$ 的高斯核密度估计器，对 $n$ 个独立同分布的高斯样本进行估计。利用 Kac-Rice 公式和 Edgeworth 展开，我们证明了在 $\beta,n\to\infty$ 时，实数线上模数的期望数目按 $\Theta(\sqrt{\beta\log\beta})$ 增长，前提是 $n^c\lesssim \beta\lesssim n^{2-c}$，其中 $c>0$ 为常数。这一调查的动因是确定在 metastable 状态中 Transformer 所抽取的簇数。