关于非对称半正定 Procrustes 问题

本文考虑非对称半正定 Procrustes（NSPSDP）问题：给定两个矩阵 $X,Y \in \mathbb{R}^{n,m}$，求矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n,n}$ 使 $AX-Y$ 的 Frobenius 范数最小，且 $A+A^T$ 为半正定。我们推广了 Gillis 和 Sharma（A semi-analytical approach for the positive semidefinite Procrustes problem, Linear Algebra Appl. 540, 112-137, 2018）针对对称半正定 Procrustes 问题（要求 $A$ 为半正定）提出的半解析方法。与对称情形类似，我们首先证明 NSPSDP 问题可归约为一个更小的 NSPSDP 问题，该问题总有唯一解且其中矩阵 $X$ 为对角且满秩。然后，提出了一种求解 NSPSDP 问题的高效半解析算法，以快速梯度法求解该更小且适定的问题，并保证线性收敛速率。该算法亦适用于求解复 NSPSDP 问题，其中 $X,Y \in \mathbb{C}^{n,m}$，因为我们证明了复 NSPSDP 问题可写为一个过参数化的实 NSPSDP 问题。所提算法的效率在若干数值算例中得到了说明。