非对称半正定 Procrustes 问题的最小范数解

给定两个矩阵 $X,B\in \mathbb{R}^{n\times m}$ 和一个集合 $\mathcal{A}\subseteq \mathbb{R}^{n\times n}$，Procrustes 问题在于寻找矩阵 $A \in \mathcal{A}$，使得 $||AX-B||_F$ 最小。当 $\mathcal{A}$ 为满足对称部分半正定的矩阵集合时，得到所谓的非对称正半定 Procrustes (NSPDSP) 问题。NSPDSP 问题源于固体和弹性结构中对合规矩阵或刚度矩阵的估计。如果 $X$ 的秩为 $r$，Baghel 等人 (Lin. Alg. Appl., 2022) 提出一种三步半解析方法：(1) 在 $r\times r$ 维度构造简化的 NSPDSP 问题；(2) 通过具有线性收敛速率的梯度法求解简化问题；(3) 对简化问题的解进行后处理，以构造更大原始 NSPDSP 问题的解。本文复盘了 Baghel 等人的该方法，并识别出导致其算法无法达到最小值并产生范数无界解的不必要假设。事实上，通过修订该半解析方法的后处理阶段，我们证明 NSPDSP 问题的下确界始终可达，并展示如何计算最小范数解。我们还证明所计算解的对称部分秩最小且受 $r$ 限制，反对称部分的秩受 $2r$ 限制。多个数值实例表明该算法在计算速度和寻找最优最小范数解方面均具有效率。