关于图在有限域上的最小秩

本文研究具有 $q$ 个元素的有限域 $\FF_q$ 上、具有 $n$ 个顶点的简单无向图 $G$ 的最小秩的两个方面，记为 $\mr(\FF_q,G)$。在本文第一部分，我们证明 $\FF_2$ 上具有 $n$ 个顶点的简单无向标号图的平均最小秩为 $(1-\varepsilon_n)n$，其中 $\lim_{n\to\infty} \varepsilon_n=0$。在本文第二部分，我们假设 $G$ 包含具有 $k$ 个顶点的团 $K_k$。我们证明，若 $q$ 不是素数，则当 $4\le k\le n-1$ 且 $n\ge 5$ 时，$\mr(\FF_q,G)\le n-k+1$。已知当 $k=n-2$、$n\ge 4$ 且 $q\ge 4$ 时，$\mr(\FF_q,G)\le 3$。我们证明，对于 $k=n-2$ 及每个 $n\ge 10$，存在图 $G$ 使得 $\mr(\FF_3,G)>3$。对于 $k=n-3$、$n\ge 5$ 且 $q\ge 4$，我们证明 $\mr(\FF_q,G)\le 4$。