超奇异约化下 Selmer 群的 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质

设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，在奇素数 $p$ 处具有良好超奇异约化。我们研究虚二次数域 $K$ 的 $\mathbb{Z}_p$-扩张上的 Iwasawa 不变量与符号 Selmer 群的 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质的变化，这些扩张位于 $K$ 的 $\mathbb{Z}_p^2$-扩张 $\mathbb{K}_\infty$ 之内且不一定是分圆扩张。我们证明了 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质成立的几个等价准则，涉及 $\mathbb{K}_\infty$ 中中间平移 $\mathbb{Z}_p$-扩张上符号 Selmer 群的 $\mu$-不变量的增长，以及在 $\mathbb{K}_\infty$ 内遍历 $K$ 的 $\mathbb{Z}_p$-扩张时 $\lambda$-不变量的有界性。我们给出了 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质成立的例子，也给出了可以证明其不成立的例子。引人注目的是，尽管超奇异约化的情形比普通约化的情形困难得多，我们在此得到了更精细的结果；此外，我们能够导出经典 Selmer 群以及精细 Selmer 群的 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质成立的类似准则。我们研究的许多性质在此非挠设置中尚未被研究过。进一步，我们研究了 Selmer 群、符号 Selmer 群与精细 Selmer 群的 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质之间的各种蕴含关系。我们将结果应用于 Mazur 的一个猜想，并证明了 $\mathfrak{M}_H(G)$ 性质与 Coates 和 Sujatha 的猜想 A 和猜想 B 之间的蕴含关系。