非寻常素数处带符号 Selmer 群的算术性质

我们将许多关于椭圆曲线和模形式的 Selmer 群的结果推广到非寻常情形。更确切地说，我们研究了利用 $\mathbf{Z}_p$-分圆扩张上的 Wach 模机制定义的带符号 Selmer 群。首先，我们给出了非寻常素数处剩余和非本原 Selmer 群的定义。这使我们能够推广 Greenberg（针对 $p$-寻常椭圆曲线）和 Kim（针对 $p$-超奇异椭圆曲线）发展的技术，以证明：如果两个 $p$-非寻常模形式彼此同余，那么它们的带符号 Selmer 群的岩泽不变量以一种明确的方式相关联。我们的结果有若干应用。首先，这使我们能够关联此类模形式解析秩的奇偶性，推广了第一作者最近关于 $p$-超奇异椭圆曲线的一个结果。其次，我们可以证明带符号 Selmer 群的一个 Kida 型公式，推广了 Pollack 和 Weston 的结果。