关于局部可指示的Cohen-Lyndon定理

对于群$H$和$H$的子集$X$，我们令${}^HX$表示集合$\{hxh^{-1} \mid h \in H, x \in X\}$，并且当$X$是$H$的自由生成集时，我们称集合${}^HX$是$H$的Whitehead子集。对于群$F$和$F$的元素$r$，如果${}^F\{r\}$是由${}^F\{r\}$生成的$F$的子群的Whitehead子集，则称$r$在$F$中是Cohen-Lyndon非球面的。1963年，D. E. Cohen和R. C. Lyndon独立地证明，在每个自由群中，每个非平凡元素都是Cohen-Lyndon非球面的。1987年，M. Edjvet和J. Howie证明，如果$A$和$B$是局部可指示群，那么$A \ast B$中每个不在$A \cup B$中的循环约化元素在$A \ast B$中是Cohen-Lyndon非球面的。利用Bass-Serre理论和Edjvet-Howie定理，可以推导出局部可指示的Cohen-Lyndon定理：如果$F$是局部可指示群，且$T$是具有平凡边稳定子的$F$-树，那么$F$中每个不固定$T$中任何顶点的元素在$F$中是Cohen-Lyndon非球面的。反之，Cohen-Lyndon定理和Edjvet-Howie定理是局部可指示的Cohen-Lyndon定理的直接推论。在本文中，我们详细回顾了Howie归纳法，并将Edjvet和Howie的论证整理成局部可指示的Cohen-Lyndon定理的一个Howie归纳证明，该证明不使用Magnus归纳法或Cohen-Lyndon定理。最后，我们回顾了Cohen-Lyndon非球面性的一些标准应用。