关于正交元胞自动机生成的 S 盒的线性分量空间

我们研究由正交元胞自动机（OCA）对定义的 S 盒，其动机在于此类 CA 总定义双射向量布尔函数，从而可能对分组密码设计有意义。特别地，我们对直径 $d=4$ 和 $d=5$ 的所有非线性 OCA 对进行穷举搜索，分别生成大小为 $6\times 6$ 和 $8\times 8$ 的 S 盒。令人惊讶的是，所有这些 S 盒都是线性的，因而对分组密码中混淆层设计无用。然而，仔细审视这些 S 盒揭示出非常有趣的结构。事实上，我们注意到穷举搜索得到的基于 OCA 的 S 盒的线性分量空间本身是线性 CA 的核，或等价地，\emph{多项式码}。我们最终对穷举搜索所得 S 盒的多项式码进行分类，并观察到在大多数情况下它们实际上对应于生成多项式为 $X^{b}+1$ 的循环码，其中 $b=d-1$。尽管这些发现排除了使用 OCA 设计分组密码中优良 S 盒的可能性，它们仍为非线性 OCA 对的理论刻画提供了有趣见解，而后者在一般情形下仍是开放问题。