由正交元胞自动机生成的 S 盒的分类

文献中发表的通过元胞自动机（CA）构造 S 盒的方法大多通过迭代有限 CA 多个时间步，或一次性应用全局规则来实现。将这些工作联系在一起的主要特征是它们采用单一 CA 规则来定义 S 盒的向量布尔函数。在本工作中，我们探索了一种利用正交元胞自动机（OCA，即产生正交拉丁方的 CA 规则对）设计 S 盒的不同方向。其动机在于：一个 OCA 对已定义一个双射变换，且所得拉丁方的正交性保证了最小程度的扩散。我们穷举枚举了由直径 $4 \le d \le 6$ 的 OCA 对生成的所有 S 盒，并度量其非线性度。有趣的是，我们观察到对于 $d=4$ 和 $d=5$，尽管底层 CA 局部规则是非线性的，所有 S 盒均为线性。最小的非线性 S 盒出现于 $d=6$，但其非线性度仍过低而无法实际应用。尽管如此，我们揭示了线性 OCA S 盒的一种有趣结构，证明它们的线性分量空间（LCS）本身是一个线性 CA 的像，或等价地一个多项式码。我们最终依据生成多项式对所有线性 OCA S 盒进行了分类。